Пропорции — Гипермаркет знаний. Пропорции (Вольфсон Г.И.) Если в верной пропорции поменять местами средние
(от лат. ргоро rtio — «соизмеримость» ).
Если соотношение а: b равно соотношению с: d , то тождество а: b = с: d называют пропорцией.
Если , то равенство сохранится и в следующих случаях:
(увеличение пропорции),
(уменьшение пропорции).
(составление пропорции сложением),
(составление пропорции вычитанием).
Обратим внимание, что составление пропорций — ещё один способ решения задач на проценты .
Например:
Олово производят из минерала, который называют касситеритом. Сколько тонн олова получат из 25 т касситерита, если он содержит 78 % олова?
Решение. Пусть получат х т олова. Взяв массу минерала за 100 % , запишем:
Решив 25.78 = 100х мы находим, что х = 19,5т.
Концепция пропорции тесно взаимосвязана с пропорциональностью . Пропорциональность - это неизменное соотношение двух величин друг к другу. Например, чем больше мы давим на педаль "газ" в машине, тем стремительнее она поедет.
Пропорциональность может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность -рост одной величины влечет за собой рост другой.
Обратная пропорциональность существует тогда, когда рост одной величины в несколько раз, во столько же раз уменьшает другую. Продолжая предыдущий пример - обратная пропорциональность между нажатием на педаль "тормоз" и скоростью автомобиля - чем больше мы давим на тормоз, тем меньше скорость.
3,6:1,2 и 6,3:2,1 равны, так как значения частных равны 3. Поэтому можно записать равенство 3,6:1,2 = 6,3:2,1, или
Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв пропорцию записывают так: a:b = c:d или
Эти записи читают так: «Отношение а к b равно отношению с к d>>
или «а так относится к b, как с относится к d>>
.
В пропорции , или a:b=c:d,
Числа a и d называют крайними членами, a числа b и с - средними членами . В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля: .
В пропорции найдем произведение ее крайних и произведение ее средних членов.
Получим 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Значит, 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Верно и обратное утверждение: если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
Это свойство называют основным свойством пропорции.
Пропорция 20:16 = 5:4 верна, так как 20 4 = 16 5 = 80. Поменяем местами в этой пропорции средние члены.
Получим новую пропорцию: 20:5 = 16:4. Она тоже верна, так как при такой перестановке произведение крайних и произведение средних членов не изменилось. Эти произведения не изменятся, если в пропорции 20:5 = 16:4 поменять местами крайние члены.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.
748. Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три новые верные пропорции из пропорции:
749. Используя верное равенство 4 9=0,2 180, составьте четыре верные пропорции.
П 750. Вычислите устно:
751. Какой знак действия надо подставить вместо *, чтобы получилось верное равенство:
752. Найдите отношение величин:
а) 1,5 м и 30 см;
б) 1 кг и 250 г;
в) 1 ч и 15 мин;
г) 50 см 2 и 1 дм 2 .
753. числа равны этого числа. Какое это число ?
754. Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби , чтобы получить дробь ?
М 755. Какие из фигур (рис. 33) являются развертками:
а) четырехугольной призмы; б) треугольной призмы; в) треугольной пирамиды?
756. Из ружья сделано 50 выстрелов, при этом 5 пуль пролетели мимо цели. Определите .
757.Угол А равен 30°, а угол В равен 50°. Какую часть угол А составляет от угла В? Во сколько раз угол В больше угла А?
758. Бригаде было дано задание собрать 280 ц винограда. Она собрала 350 ц. На сколько процентов бригада перевыполнила задание? На сколько процентов бригада выполнила задание?
759.В парке посадили клены и дубы, причем на каждые 4 клена приходится один дуб. Сколько процентов от всех посаженных деревьев составляют клены? Сколько всего посадили деревьев в парке, если кленов посадили 480?
Д 760. Верна ли пропорция:
а) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; б) 0,0112:0,28=0,204:0,51?
761. Решите уравнение:
762. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?
763. Через 2 ч после выхода со станции А тепловоз увеличил скорость на 12 км/ч и через 5 ч после начала движения прибыл в пункт назначения В. Какова была скорость тепловоза в начале пути, если расстояние от А до В равно 261 км?
764. Если к неизвестного числа прибавить 0,8, то получится 1,2. Найдите неизвестное число.
765. Выполните действия:
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика
для 6 класса, Учебник для средней школы
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
Слово «пропорция» происходит от латинского корня и означает «соразмерность». Люди часто используют его в повседневной жизни. Говорят, например, о пропорциях человеческого тела или о пропорциях в кулинарии. Сегодня мы узнаем, что вкладывают в это слово математики.
Рассмотрим два отношения. Мы помним, что отношение - это частное двух чисел.
Заметим, что и в первом и во втором случае значение частного равно трем. Перед нами два равных отношения. Запишем равенство.
Пятнадцать так относится к пяти, как двадцать четыре к восьми. Такое равенство и называют пропорцией. Иногда это равенство записывают в виде равенства обыкновенных дробей.
Сформулируем определение: равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв пропорцию можно записать:
Отношение a к b равно отношению c к d . Иногда пропорцию читают по-другому: «a так относится к b , как c относитсяк d ». Участвующие в пропорции числа называют членами пропорции. Считают, что все члены отличны от нуля.
Числа a и d называют крайним членами пропорции, а числа b и c - средними членами. Действительно, в первом варианте записи числа b и c находятся посередине, а числа a и d с краю.
В рассмотренной ранее пропорции 
найдем произведение ее средних и крайних членов.
Заметим, что два полученных произведения равны.
Сформулируем основное свойство пропорции в общем виде.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Верно и обратное утверждение.
Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
Найдем неизвестный член пропорции, то есть решим пропорцию.
Числа 0,5 и 13 - это крайние члены; числа a и 2 - это средние члены. Воспользуемся основным свойством пропорции.
Решим пропорцию.
Используя основное свойство пропорции, получим:
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель дроби на 10. Сократим полученную дробь на 4, а затем еще раз на 4.
Проверить являются ли данные пропорции верными:
В этом задании нужно проверить, действительно ли выполняется равенство между отношениями.
Найдем произведение средних и произведение крайних членов для каждой пропорции. Если полученные произведения равны, то пропорция верна. В противном же случае, пропорция является неверной.
верная пропорция, т. к.
неверная пропорция, т. к.
Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившееся новые пропорции тоже верны .
Это так потому, что при такой перестановке произведение крайних и средних членов не изменяется.
Разберем пример. Из данной пропорции получить две новые, переставив крайние и средние члены. Сначала переставим средние члены (рис. 1).
Рис. 1. Перестановка средних членов
Действительно, произведение средних и крайних не изменилось, значит, полученная пропорция верна. Переставим крайние члены (рис. 2).
Рис. 2. Перестановка крайних членов
И в этом случае произведение средних и крайних не изменилось. Мы получили верную пропорцию.
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
- Математика ().
- Интернет-портал Math-portal.ru ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012: № 762 (а, г, д), № 765, № 777.
- Другие задания: № 767, № 775.